中考冲刺:创新、开放与探究型问题(提高)
一、选择题
1. (2016•重庆校级二模)下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成.其中,第①个图形中一共有1个平行四边1.(2016•重庆校级二模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈,第②个图形中一共有6个空心小圆圈,第③个图形中一共有13个空心小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中空心圆圈的个数为( )
A.61 B.63 C.76 D.78
2.如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交与点P1;
设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2;
设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;
…;
设 Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn﹣1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2),则AP6的长为( )
A. B. C. D.
3.下面两个多位数1248624…、6248624…,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位上,若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是( )
A.495 B.497
C.501 D.503
二、填空题
4. (2015•合肥校级三模)如图,一个3×2的矩形(即长为3,宽为2)可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形,即:小正方形的个数最多是6个,最少是3个.
(1)一个5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数可以是______个,最少是______个;
(2)一个7×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是______个,最少是______个;
(3)一个(2n+1)×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是______个;
最少是______个.(n是正整数)
5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃,该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成,每个扇环面如图2所示,它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成,为使得绿化效果最佳,还须使得扇环面积最大.
(1)使图①花圃面积为最大时R-r的值为____,以及此时花圃面积为____,其中R、r分别为大圆和小圆的半径
(2)若L=160 m,r=10 m,使图面积为最大时的θ值为______.
6.如图所示,已知△ABC的面积,
在图(a)中,若,则;
在图(b)中,若,则;
在图(c),若,则.
…
按此规律,若,则________.
三、解答题
7.(2016•丹东模拟)已知,点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合),∠BAC=90°,AB=AC,∠DAE=90°,AD=AE,连接CE.
(l)如图1,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CE,②CE=BC﹣CD;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点O在线段BC的反向延长线上时,且点A、E分别在直线BC的两侧,点F是DE的中点,连接AF、CF,其他条件不变,请判断△ACF的形状,并说明理由.
8. 如图(a)、(b)、(c),在△ABC中,分别以AB,AC为边,向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形,BE,CD相交于点O.
(1)①如图(a),求证:△ADC≌△ABE;
②探究:
图(a)中,∠BOC=________;
图(b)中,∠BOC=________;
图(c)中,∠BOC=________;
(2)如图(d),已知:AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边;
AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边.BE,CD的延长相交于点O.
①猜想:图(d)中,∠BOC=________________;
(用含n的式子表示)
②根据图(d)证明你的猜想.
9. 如图(a),梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P(P不与B,C重合),连接DP,作射线.PE⊥DP,PE与直线AB交于点E.
(1)试确定CP=3时,点E的位置;
(2)若设CP=x(x>0),BE=y(y>0),试写出y关于自变量x的函数关系式;
(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1,P2,使按上述作法得到的点E都与点A重合,试求出此时a的取值范围
10. 点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,在直线n上找一点C,使BC=k·AB.连接AC,在直线AC上任取一点E,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.
(1)如图(a),当k=1时,探究线段EF与EB的关系,并加以说明;
说明:
①如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写三步);
②在完成①之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角),在图(b)中补全图形,完成证明.
(2)如图(c),若∠ABC=90°,k≠l,探究线段EF与EB的关系,并说明理由.
答案与解析 【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】A;
【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为:4×1﹣3+1×0=1个;
第②个图形中空心小圆圈个数为:4×2﹣4+2×1=6个;
第③个图形中空心小圆圈个数为:4×3﹣5+3×2=13个;
…
∴第⑦个图形中空心圆圈的个数为:4×7﹣9+7×6=61个;
2.【答案】A;
【解析】由题意得,AD=BC=,AD1=AD﹣DD1=,AD2=,AD3=,ADn=,
故AP1=,AP2=,AP3=…APn=,
故可得AP6=.
故选A.
3.【答案】A;
【解析】
根据题意,当第1位数字是3时,按操作要求得到的数字是3624862486248…,从第2位数字起每隔四位数重复
一次6248,因为(100-1)被4整除得24余3,所以这个多位数前100位的所有数字之间和
是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24=495,答案选A.
二、填空题
4.【答案】(1)4;
10;
(2)5;
14;
(3)4n+2;
n+2.
【解析】(1)一个5×2的矩形最少可分成4个正方形,最多可分成10个正方形;
(2)一个7×2的矩形最少可分成5个正方形,最多可分成14个正方形;
(3)第一个图形:是一个3×2的矩形,最少可分成1+2个正方形,最多可分成1×4+2个正方形;
第二个图形:是一个5×2的矩形,最少可分成2+2个正方形,最多可分成2×4+2个正方形;
第三个图形:是一个7×2的矩形,最少可分成3+2个正方形,最多可分成3×4+2个正方形;
…
第n个图形:是一个(2n+1)×2的矩形,最多可分成n×4+2=4n+2个正方形,最少可分成n+2个正方形.
故答案为:(1)4;
10;
(2)5;
14;
(3)4n+2;
n+2.
5.【答案】(1)R-r的值为,以及此时花圃面积为;
(2)θ值为.
【解析】
要使花圃面积最大,则必定要求扇环面积最大.
设扇环的圆心角为θ,面积为S,根据题意得:
,
∴
∴
.
∵ ,
∴S在时取最大值为.
∴花圃面积最大时R-r的值为,最大面积为.
(2)∵当时,S取大值,
∴ (m),
(m),
∴ .
6.【答案】.
【解析】
…
三、解答题
7.【答案与解析】
(1)证明:如图1中,∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE=45°,BD=CE,
∴∠ACB+∠ACE=90°
∴∠ECB=90°,
∴BD⊥CE,CE=BC﹣CD.
(2)如图2中,结论:CE=BC+CD,理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,
∴CE=BC+CD.
(3)如图3中,结论:△ACF是等腰三角形.理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ACE=∠ABD=135°,
∴∠DCE=90°,
又∵点F是DE中点,
∴AF=CF=DE,
∴△ACF是等腰三角形.
8.【答案与解析】
(1)证法一:
∵△ABD与△ACE均为等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,且∠BAD=∠CAE=60°.
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE.
∴△ADC≌△ABE.
证法二:
∵△ABD与△ACE均为等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,
且∠BAD=∠CAE=60°.
∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到.
∴△ABE≌△ADC.
②120°,90°,72°.
(2)①.
②证法一:依题意,知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角,AB=AD,AE=AC,
∴∠BAD=∠CAE=.
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE,
即∠BAE=∠DAC.
∴△ABE≌△ADC.
∴∠ABE=∠ADC.
∵∠ADC+∠ODA=180°,
∴∠ABO+∠ODA=180°.
∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°.
∴∠BOC+∠DAB=180°.
∴∠BOC=180°-∠DAB=.
证法二:延长BA交CO于F,证∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD.
证法三:连接CE.证∠BOC=180°-∠CAE.
9.【答案与解析】
解:
(1)作DF⊥BC,F为垂足.
当CP=3时,四边形ADFB是矩形,则CF=3.
∴点P与点F重合.
又∵BF⊥FD,
∴此时点E与点B重合.
(2)(i)当点P在BF上(不与B,F重合)时,(见图(a))
∵∠EPB+∠DPF=90°,∠EPB+∠PEB=90°,
∴∠DPF=∠PEB.
∴Rt△PEB∽△ARt△DPF.
∴ . ①
又∵ BE=y,BP=12-x,FP=x-3,FD=a,代入①式,得
∴ ,整理,
得 ②
(ii)当点P在CF上(不与C,F重合)时,(见上图(b))同理可求得.
由FP=3-x得.
∴
(3)解法一:
当点E与A重合时,y=EB=a,此时点P在线段BF上.
由②式得.
整理得. ③
∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,
∴方程③有两个不相等的正实根.
∴△=(-15)2-4×(36+a2)>0.
解得.
又∵a>0,
∴ .
解法二:
当点E与A重合时,
∵∠APD=90°,
∴点P在以AD为直径的圆上.设圆心为M,则M为AD的中点.
∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,
∴线段BC与⊙M相交.即圆心M到BC的距离d满足. ④
又∵AD∥BC,
∴d=a.
∴由④式得.
10.【答案与解析】
解:
(1)EF=EB.
证明:如图(d),以E为圆心,EA为半径画弧交直线m于点M,连接EM.
∴EM=EA,∴∠EMA=∠EAM.
∵BC=k·AB,k=1,
∴BC=AB.
∴∠CAB=∠ACB.
∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB,∠FAB=∠ABC.
∴∠MAC=∠CAB.
∴∠CAB=∠EMA.
∵∠BEF=∠ABC,
∴∠BEF=∠FAB.
∵∠AHF=∠EHB,
∴∠AFE=∠ABE.
∴△AEB≌△MEF.
∴EF=EB.
探索思路:如上图(a),∵BC=k·AB,k=1,
∴BC=AB.
∴∠CAB=∠ACB.
∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB.
添加条件:∠ABC=90°.
证明:如图(e),在直线m上截取AM=AB,连接ME.
∵ BC=k·AB,k=1,
∴ BC=AB.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠CAB=∠ACB=45°.
∵ m∥n,
∴ ∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°,∠FAB=90°.
∵ AE=AE,∴△MAE∽△BAE.
∴ EM=EB,∠AME=∠ABE.
∵ ∠BEF=∠ABC=90°,
∴ ∠FAB+∠BEF=180°.
又∵ ∠ABE+∠EFA=180°,
∴ ∠EMF=∠EFA.
∴ EM=EF.
∴ EF=EB.
(2)EF=EB.
说明:如图(f),过点E作EM⊥m,EN⊥AB,垂足为M,N.
∴ ∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°.
∵ m∥n,∠ABC=90°,
∴ ∠MAB=90°.
∴ 四边形MENA为矩形.
∴ ME=NA,∠MEN=90°.
∵∠BEF=∠ABC=90°.
∴∠MEF=∠NEB.
∴△MEF∽△NEB.
∴ ,
∴
∴ 在Rt△ANE和Rt△ABC中,
,
∴ .